Download Mathematik für Mediziner und Biologen by Prof. Dr. Dr. Günter Fuchs (auth.) PDF

g. Aus diesen Beispielen, wieder ins allgemeine übertragen, ist ersichtlich, daß die Glieder der Folge mit unendlich wachsendem n verschiedenes Verhalten zeigen 28 können: Sie können (wichtigster Sonderfall) trotzdem endlich bleiben, ja sich einem endlichen Wert unbegrenzt nähern a Soo -+ -1- -q be. -1

Da die Stetigkeit nichts weiter ist als eine Verknüpfung zweier Konvergenzaussagen, so lassen sich aus den bisher abgeleiteten Sätzen über konvergente Zahlenfunktionen ohne große Schwierigkeiten entsprechende Sätze über stetige Funktionen ableiten. B. der Satz: Ist eine Funktion eine Konstante f(x)=c, so ist diese Funktion an allen Stellen stetig. Weiter ist auch die Funktion f(x)=x an allen Stellen stetig, wie aus der Definition der Stetigkeit sofort abzuleiten ist. Da nun aus Satz III sich ohne weiteres ableiten läßt, daß Summe, Differenz, Produkt und Quotient stetiger Funktionen wieder stetige Funktionen liefern (ausgenommen natürlich die Stellen, an denen die Nennerfunktion =0 wird, die Nullstellen des Nenners), so ergibt sich mit den beiden angegebenen Sätzen die Stetigkeit aller ganzen rationalen und mit dieser Einschränkung aller rationalen Funktionen überhaupt.

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