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By Josef Stoer, Roland Bulirsch (auth.)

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5 Reduktion von Matrizen auf einfachere Gestalt Die Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix A werden bei den gebräuchlichsten Verfahren flir voll besetzte Matrizen folgendermaßen bestimmt. Man transformiert die Matrix zunächst mit Hilfe von endlich vielen Ähnlichkeitstransformationen i = 1,2, ... ,m, in eine einfacher gebaute Matrix B, und bestimmt anschließend die Eigenwerte ). y. x. d. h. zum Eigenwert ). von A gehört der Eigenvektor x. Die Matrix B wird dabei so gewählt, daß 1. die anschließende Eigenwert- bzw.

J eine un::erleghare Tridiagonalmatrix, d. h. y, 0 für alle i. Andernfalls zerfallt J in unzerlegbare Tridiagonalmatrizen J<•l, i = l, ... , k, + 0 J= 0 die Eigenwerte von J sind aber gerade die Eigenwerte der J

0 * 0 * * A;-1 0 i-1 Die ersten i- 1 Spalten von A;_ 1 haben bereits dieselbe Form wie bei einer Hessenberg-Matrix. _ 2 ist eine Hessenberg-Matrix. ik von A;_ 1 mit j,k ~ i unverändert. 27 Algol-Programme ftir diesen Algorithmus findet man bei Martin, Wilkinson [9], Fortran-Programme in Smith et al. [26]. 4) wird ein weiterer Algorithmus zur Reduktion einer allgemeinen Matrix A auf Hessenberg-Gestalt beschrieben, der nicht mit unitären Ähnlichkeitstransformationen arbeitet.

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