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By G. Pólya, G. Szegö (auth.)

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Es seien i + 1 und k + 1 sukzessive Wechselstellen der Folge ao, al , a2 , •• •• Dann enthält die Folge der Differenzen eine ungerade Anzahl von Zeichenwechseln (also mindestens einen Zeichenwechsel) . 12. Wenn t(x) im Intervall a, b NNullstellen besitzt, so besitzt /,(x) daselbst nicht weniger als N -1 Nullstelien. Dies gilt, gleichgültig, ob das Intervall a, b offen, abgeschlossen oder halb offen ist; es kann sich sogar auf einen Punkt reduzieren. 13. Wenn die Folge W Wechselstellen enthält, so enthält die Folge nicht weniger als W - 1 Wechselstellen.

2< ... Pft 49 Dann ist die >0. ) 77. Es seien al , a2 , ••• , am Äv Ä2 , ••• , ÄII reelle Konstanten, Man bezeichne mit N die Anzahl der reellen Nullstellen der ganzen Funktion Ä1 < Ä2 < Ä3 < ... < Ä II • F(x) = a1e1,z + a2eA,z + ... + aneA.. X und mit W die Anzahl der Zeichenwechsel der Zahlenfolge av a2 , ••• , an. Dann ist W - N eine nichtnegative gerade Zahl. ) Beweis. Wir können ohne Beeinträchtigung der Allgemeinheit annehmen, daß av a2 , ••• , all alle von 0 verschieden sind. Daß W - N gerade ist, sieht man daraus, daß für x ~ - 00 das Glied al e1,z und für x .....

53 für a < X < b nicht verschwinden, und darüber hinaus sollen irgend zwei Wronskischen Determinanten mit gleichviel Zeilen gleiches Vorzeichen besitzen. (Zeilenanzahl i = 1, 2, 3, ... ] 88. ) Insbesondere ist für das Bestehen der Descartessehen Regel notwendig, daß im Intervall a < x < b die Quotienten ha (x) ha(x) , alle positiv sind und entweder alle ständig abnehmen oder alle ständig zunehmen. 89. ) Es sei 1

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