Download Algebra: Gruppen – Ringe – Körper by PD Dr. Christian Karpfinger, Prof. Dr. Kurt Meyberg (auth.) PDF

By PD Dr. Christian Karpfinger, Prof. Dr. Kurt Meyberg (auth.)

Dieses Lehrbuch zur Algebra bietet eine Einführung in die grundlegenden Begriffe und Methoden der modernen Algebra. Es werden die Themen eines Grundkurses zur Algebra ausführlich und motivierend behandelt.

Die Algebra wird von vielen Studierenden als sehr abstrakt empfunden. Daher haben sich die Autoren bemüht, die Ergebnisse und Begriffe mit zahlreichen Beispielen zu unterlegen. Die Beweisführungen sind ausführlich, die Kapitel sind in kleine Lerneinheiten unterteilt. Diese Lerneinheiten führen Schritt für Schritt an die Ergebnisse heran und können durch diese Darstellung vom Leser besser nachvollzogen werden.

Die zahlreichen Aufgaben unterschiedlicher Schwierigkeitsgrade zum Ende der Kapitel überprüfen das Gelernte und fördern das tiefere Verständnis der Theorie. Auf der web site zum Buch stehen ausführliche Lösungsvorschläge zu den Aufgaben bereit.

Die three. Auflage wurde vollständig durchgesehen und um ein Kapitel über freie Gruppen erweitert.

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In diesem Sinne ist X die kleinste Untergruppe von G, die X enthält. Man nennt U := X die von X erzeugte Untergruppe und X ein Erzeugendensystem von U . Und G heißt endlich erzeugt bzw. zyklisch, wenn G ein endliches Erzeugendensystem besitzt bzw. von einem Element erzeugt wird. 1 Erzeugendensysteme. Elementordnungen 31 Statt {a1 , . . , an } schreiben wir kürzer a1 , . . , an ; dass eine Gruppe G zyklisch ist, heißt somit: Es gibt ein a ∈ G mit G= a . 2 Es gilt ∅ = {e} = e und U = U für jede Untergruppe U einer Gruppe mit neutralem Element e.

Wegen |S3 | = 6 kann die Gruppe 1 S3 höchstens Untergruppen der Ordnungen 1, 2, 3, 6 haben. Es sind {Id} die einzige Untergruppe der Ordnung 1 und S3 die einzige der Ordnung 6 – die trivialen Untergruppen. Die Elemente der Ordnung 2 erzeugen zweielementige Untergruppen: U1 := σ2 = {Id, σ2 }, U2 := σ4 = {Id, σ4 }, U3 := σ5 = {Id, σ5 }. Weitere Untergruppen der Ordnung 2 gibt es nicht. Wegen σ1−1 = σ3 erzeugen σ1 und σ3 dieselbe dreielementige Untergruppe V := σ1 = {Id, σ1 , σ3 }. Weitere Untergruppen der Ordnung 3 gibt es nicht.

Daraus folgt A−1 = −A für alle A ∈ Q \ {±E}. Ferner gilt K = I J = −J I, somit ist die Gruppe Q nicht abelsch. Die Isometrien der euklidischen Ebene bzw. des euklidischen Raumes, die ein geometrisches Objekt O auf sich selbst abbilden, bilden mit der Komposition von Abbildungen eine Gruppe – die Symmetriegruppe von O. Die identische Abbildung ist hierbei das neutrale Element. 5 werden wir die Symmetriegruppe eines regulären n-Ecks behandeln, die Diedergruppe Dn . Die Symmetriegruppen periodischer Muster im Raum nennt man kristallografische Gruppen.

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